一元二次不等式的解法例题及解析过程，一元二次不等式大于取两边小于取中间

一元二次不等式的解法通常可以分为以下几步：

1.将不等式转化为标准形式ax^2+bx+c<0或ax^2+bx+c>0。

2.求出方程ax^2+bx+c=0的根，即求解二次方程。

3.根据根的性质以及二次函数的图像，确定不等式的解集。

以下是一个一元二次不等式的例题及解析过程：

例题：解不等式x^2 – 4x – 5 < 0。

解析过程：

1.将不等式转化为标准形式ax^2+bx+c<0，即x^2 – 4x – 5 < 0。

2.求出方程x^2 – 4x – 5 = 0的根。

根据求根公式x = (-b ± √(b^2 – 4ac)) / 2a，代入a = 1，b = -4，c = -5，可得：

x1 = (4 + √36) / 2 = 5

x2 = (4 – √36) / 2 = -1

因此，方程的根为5和-1。

3.根据根的性质以及二次函数的图像，确定不等式的解集。

首先，根据二次函数y = x^2 – 4x – 5的图像可知，其开口向上，顶点为(2,-9)。因此，当x < -1或x > 5时，不等式x^2 – 4x – 5 < 0成立。其次，根据二次函数的对称性可知，当x在根-1和5之间时，函数值大于等于0，因此不等式在这个区间内不成立。

综上，不等式x^2 – 4x – 5 < 0的解集为x∈(-∞, -1)∪(5, +∞)。

证明过程如下：

假设a>0，b>0，c>0，且a、b、c都是实数。考虑不等式ax^2+bx+c>0。

首先，设m和n分别是方程ax^2+bx+c=0的两个根，则可以将不等式表示为(x-m)(x-n)>0的形式。因为a>0，所以二次函数y=ax^2+bx+c的开口向上。根据二次函数的图像，当x在根m和n之间时，y小于等于0；当x小于m或大于n时，y大于等于0；当x在根m和n之外时，y又小于等于0。

然后，考虑不等式(x-m)(x-n)>0的解集。当x小于m或大于n时，左边的乘积大于0，不等式成立。当x在根m和n之间时，左边的乘积小于等于0，不等式不成立。当x在根m和n之外时，左边的乘积又大于0，不等式再次成立。

综上，不等式(x-m)(x-n)>0的解集为x∈(-∞, m)∪(n, +∞)。因此，当不等式为大于号时，其解集为x∈(-∞, m)∪(n, +∞)；当不等式为小于号时，其解集为x∈(m, n)。这就证明了“一元二次不等式大于取两边，小于取中间”的结论。