一元二次方程两根之和两根之积，平方根,算术平方根以及二次根式的区别和联系

设一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根为x1和x2，根据代数基本恒等式可得：

x1 + x2 = (-b/a)

x1x2 = (c/a)

其中，x1 + x2表示方程的两根之和，x1x2表示方程的两根之积。

这个结论可以通过因式分解法来证明。将方程ax^2+bx+c=0因式分解为a(x-x1)(x-x2)=0，展开后可得到：

ax^2 – a(x1+x2)x + ax1x2 = 0

由于方程的系数都为实数，因此其两个根也都是实数。根据二次方程求根公式可知，方程的两个根之和和两个根之积可以用方程中的系数表示出来，代入上式中即可得到上述结论。

需要注意的是，当方程存在重根时，两个根之和和两个根之积的值相等，即x1=x2=-b/2a，此时x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。

平方根、算术平方根和二次根式都与根号符号√有关，但是它们的概念和用途略有不同。

平方根是一个数的平方的逆运算。例如，如果a是一个正实数，那么√a是另一个正实数b，满足b^2=a。因此，√a就是a的平方根。

算术平方根也是一个数的平方的逆运算，但它通常用于求解正实数的平方根。如果a是一个正实数，那么其算术平方根表示为±√a。注意，算术平方根是有两个取值的，其中一个为正数，另一个为负数，它们的平方都等于a。

二次根式是指一个形如a√b的代数式，其中a和b都是实数，且b是一个正实数且不含有平方因子。在二次根式中，a被称为系数，√b被称为根部。

这三个概念之间的联系是：算术平方根可以表示为带有正负号的二次根式，例如，√a可以表示为±1√a。在实际计算中，我们通常使用算术平方根来求解正实数的平方根。另外，二次根式在代数表达式中也经常出现，例如，在求解一元二次方程的根时，方程的根可以用二次根式来表示。